Hierarchiespiel, Rechnung dazu
Auf mehrfachen Wunsch, die mathematischen Details zum Hierarchiespiel im Buch Seite 56.
Hier die Rechnung, wie sich die geschätzte Köpergröße eines Wolfes, durch Treffen mit einem anderen Wolf ändert und an die wahre Körpergröße anpasst. Die Belohnung beim Treffen wirkt wie ein Spiegel, in dem der Wolf seine eigene wahre Größe im Laufe der Zeit erkennt.
Wolf i schätzt seine wahre Größe S(i) zur Zeit t mit dem Wert E(i,t) ab. Trifft er auf einen anderen Wolf j mit der wahren Größe S(j) dann ändert sich E(i,t)->E(i,t+1).
Wolf i erhält eine Belohnung, die proportional zur Differenz der Größen S(i)-S(j) ist. Er schätzt seine Belohnung ab als
E(i,t)- S(j) , da er die wahre Größe S(j) des Gegners sieht und seine eigene Größe mit E(i,t) abschätzt.
Wir nehmen nun an, dass sich beim Treffen die Selbsteinschätzung E(i,t) proportional zur Differenz aus wahrer Belohnung und geschätzter Belohnung ändert
Also
E(i,t+1)=E(i,t)+a{ [S(i)-S(j)] [(E(i,t)-S(j)]}
Wobei 0<a<1 ist. Daraus folgt
E(i,t+1)= E(i,t)-a[E(i,t)-S(i)] (*)
Die Änderung der Selbsteinschätzung hängt also (und das ist wirklich schön in diesem Modell) nicht mehr von der Größe
S(j) des Gegners ab.
Wir können in (*) auf beiden Seiten S(i) abziehen und erhalten, wenn wir die Differenz D(i,t)= [E(i,t)-S(i)] zwischen geschätzter und wahrer Größe einführen, die Relation
D(i,t+1)= (1-a)D(i,t)
mit der Lösung
D(i,t)= D(i,0)(1-a)^t
Da 1-a<1 ist, konvergiert also nach vielen Treffen (für t nach unendlich) mit anderen Wölfen die Differenz zwischen geschätzter Körpergröße und wahre Körpergröße D(i,t) nach Null.